本章通过面积的计算，引入单项式乘法、多项式乘法、平方 差公式、完全平方公式等内容，从直观上可以帮助我们理解这些内容，并渗透数形结合思想；通过因数分解与因式分解的类比，可以帮助我们体会、理解、认识因式 分解的意义；对比整式的乘法设置了探索因式分解方法的相关活动，可以帮助我们感受乘法与因式分解之间的这种逆向恒等变形的价值，下面综述如下：
三、多项式乘多项式
多项式乘多项式是将其中一个多项式看成“整体”，将其转化为单项式乘多项式；乘法分配律帮助我们实现了这个目的：
1、多项式的乘法法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加.
2、运用多项式乘法法则时的注意事项：
（ 1）多项式的乘法法则，是两次运用单项式与多项式相乘的法则得到的.
即：( a+ b)( m+ n)是把( a+ b)看成是一个单项式，运用单项式与多项式的乘法法则运算，得：
( a+ b)( m+ n)=( a+ b)· m+( a+ b)· n，
再用单项式与多项式的乘法进行计算，得：
( a+ b)( m+ n)= am+ bm+ an+ bn.
（ 2）多项式与多项式相乘，仍得多项式，在合并同类项之前，积的项数应等于两个多项式的项数之积，如( a+ b)( x+ y+ z)的项数在没合并前，应是 2× 3= 6项.
（ 3）注意确定积中每一项的符号，多项式中每一项都包含它前面的符号.
（ 4）多项式乘多项式的积中，有同类项要合并同类项.
（ 5）在进行计算含有一个相同字母的两个一次二项式相乘时，可借助下列公式进行快速计算：( x+ a)( x+ b)= x 2+( a+ b) x+ ab.
3、典例分析：
例：计算：( 1)( x -2 y)( 2 a+ 3 b).
( 2)( x-y)( x 2+ xy+ y 2)
分析：第（ 1）题，先用 x分别与 2 a、 3 b相乘，再用 -2 y分别与 2 a、 3 b相乘，然后把所得的积相加；第（ 2）题，可先用二项式（ x-y）中的 x分别与三项式中的各项相乘，再用 - y分别与三项式中的各项相乘，然后把所得的积相加.
解：( 1)原式= x· 2 a+ x· 3 b+( -2 y)· 2 a+( -2 y)· 3 b
= 2 ax+ 3 bx -4 ay -6 by.
( 2)原式= x· x 2+ x· xy+ x· y 2+( - y)· x 2+( - y)· xy+( - y)· y 2
= x 3+ x 2 y+ xy 2 - x 2 y-xy 2 - y 3
= x 3 - y 3.
说明：（ 1）利用多项式乘法法则时，既不要漏乘，又要注意确定各项的符号.
（ 2）乘积中有同类项，要合并同类项.
四、乘法公式
乘法公式是特殊形式的多项式乘法，应用多项式乘以多项式的方法，容易推出常用的乘法公式：
平方差公式：( a+ b)( a-b)= a 2 - b 2
完全平方公式：
( a+ b) 2=( a+ b)( a+ b)= a 2+ 2 ab+ b 2
( a-b) 2=( a-b)( a-b)= a 2 -2 ab+ b 2
使用乘法公式计算或化简，就是“比形式”、“套公式”的过程，“形式”要相同，符号要一致，才能“套公式”
例：化简下列各题：
( 1)( 3 a+ 5 b) 2;
( 2)( - x+ 3 y) 2 ;
( 3)( - m -2 n) 2.
分析：此题可利用完全平方公式计算，第（ 1）题是两数和的平方，应选用“和”的完全平方公式，其中 3 a是公式中的 a， 5 b是公式中的 b；第( 2)题( - x+ 3 y) 2=( 3 y-x) 2=( x -3 y) 2所以应选用“差”的完全平方公式简捷；第( 3)题( - m -2 n) 2=[ -( m+ 2 n)] 2=( m+ 2 n) 2应选用“和”的完全平方公式简捷
解：( 1)( 3 a+ 5 b) 2
=( 3 a) 2+ 2.3 a. 5 b+( 5 b) 2
= 9 a 2+ 30 ab+ 25 b 2.
( 2)( - x+ 3 y) 2
=( 3 y-x) 2=( 3 y) 2 -2· 3 y· x+ x 2
= 9 y 2 -6 xy+ x 2.
( 3)( - m -2 n) 2
=[ -( m+ 2 n)] 2
=( m+ 2 n) 2
= m 2+ 4 mn+ 4 n 2.
说明：（ 1）这三题其实都可以用“和”的完全平方公式（或“差”的完全平方公式）计算，只不过根据题目特点灵活采用变形可简化计算过程，其中( - x+ 3 y 2)转化为( 3 y-x) 2或( x -3 y) 2是一个常用技巧
（ 2）完全平方公式( a± b) 2= a 2± 2 ab+ b 2，展开式可记成“首 (a)平方、尾 (b)平方，首 (a)尾 (b)乘积的 2倍加减在中央”.
例：计算( 1)( 2 x 2+ 3 y 2)( -2 x 2+ 3 y 3);
( 2)( a -2 b+ 3 c)( - a -2 b -3 c).
分析：仔细观察题目特点，凡两因式中相同项当作公式中的 a，另一项(必须是互为相反数)当作公式中的 b方可应用平方差公式，而有的，必须经过变形才能运用平方差公式.
解：( 1)原式=( 3 y 3) 2 -( 2 x 2) 2
= 9 y 6 -4 x 4.
( 2)原式=[ -2 b+( a+ 3 c)][ -2 b -( a+ 3 c)]
=( -2 b) 2 -( a+ 3 c) 2
= 4 b 2 -( a 2+ 6 ac+ 9 c 2)
= 4 b 2 - a 2 -6 ac -9 c 2.
说明：公式中的字母可表示具体的数，也可表示单项式或多项式，只要符合平方差公式的结构特征，就可运用
五、乘法公式的再认识——因式分解
整式乘法是把几个整式相乘，化为一个多项式；而因式分解是把一个多项式写成几个整式的积的形式，知道了这种区别和联系，不仅可以明白因式分解的意义，而且也可以把整式乘法的过程反过来，从而得到因式分解的一些基本方法
因式分解的结果一定是积的形式；每个因式必须是整式；各因式要分解到不能再分解为止
运用公式分解因式要了解公式的特点；用提公因式法进行因式分解时，要知道公因式，可以是一个单项式，也可以是一个多项式
例：分解因式：
( 1) -3 x 2+ 6 x 2 y -3 xy 2;
( 2) x 4 -9 x 2.
分析：分解因式时，首先考虑是否有公因式可提，其次根据项的特点选择合适公式因式分解，此外要注意分解出的因式是否可以继续分解
解：( 1) -3 x 3+ 6 x 2 y -3 xy 2
= -3 x( x 2 -2 xy+ y 2)
= -3 x( x-y) 2.
( 2) x 4 -9 x 2
= x 2( x 2 -9)
= x 2( x+ 3)( x -3).
( 3)( m 2 -1) 2+ 6( m 2 -1)+ 9
=( m 2 -1) 2 -6( m 2 -1)+ 9
=( m 2 -1-3) 2
=[( m+ 2)( m -2)] 2
=( m+ 2) 2( m -2) 2.
说明：（ 1）若 1作为项的系数时，通常可以省略，但如果单独成一项时，它在因式分解中不能漏掉.
（ 2）多项式第一项为负时，要先提出“ -”号，使括号内的第一项为正.
（ 3）因式分解必须彻底，即分解到不能再进行分解为止.
