（ 2007.连云港）如图 1，点 C将线段 AB分成两部分，如果
，那么称点 C为线段 AB的黄金分割点．
某研究小组在进行课题学习时，由黄金分割点联想到“黄金分割线”，类似地给出“黄金分割线”的定义：直线 l将一个面积为 S的图形分成两部分，这两部分的面积分别为 S 1， S 2，如果
，那么称直线 l为该图形的黄金分割线．
（ 1）研究小组猜想：在△ ABC中，若点 D为 AB边上的黄金分割点（如图 2），则直线 CD是△ ABC的黄金分割线．你认为对吗？为什么？
（ 2）请你说明：三角形的中线是否也是该三角形的黄金分割线？
（ 3）研究小组在进一步探究中发现：过点 C任作一条直线交 AB于点 E，再过点 D作直线 DF// CE，交 AC于点 F，连接 EF（如图 3），则直线 EF也是△ ABC的黄金分割线．请你说明理由．
（ 4）如图 4，点 E是□ ABCD的边 AB的黄金分割点，过点 E作 EF// AD，交 DC于点 F，显然直线 EF是□ ABCD的黄金分割线．请你画一条 ABCD的黄金分割线，使它不经过□ ABCD各边黄金分割点．
分析：本题是一道类比探究问题，首先要理解“黄金分割线”的定义：直线 l将一个面积为 S的图形分成两部分，这两部分的面积分别为 S 1， S 2，如果，那么称直线 l为该图形的黄金分割线．
（ 1）要判断 CD是否是△ ABC的黄金分割线，则需要判断 CD将△ ABC分割成的两个三角形的面积是否满足“黄金分割线”的定义；
（ 2）要判断三角形的中线是否也是该三角形的黄金分割线，就需要验证中线分成的两个三角形是否满足“黄金分割线”的定义。
解：（ 1）直线 CD是△ ABC的黄金分割线．理由如下：
设△ ABC的边 AB上的高为 h．
因为 S△ ADC=
AD· h， S△ BDC= BD· h， S△ ABC= AB· h，
所以
，
．
又因为点 D为边 AB的黄金分割点，所以有
．因此
．
所以直线 CD是△ ABC的黄金分割线．
（ 2）因为三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分 s 1， s 2，此时
，即
，所以三角形的中线不可能是该三角形的黄金分割线．
（ 3）因为 DF// CE，所以△ DEC和△ FCE的公共边 CE上的高也相等，
所以有 S△ DEC= S△ FCE，
设直线 EF与 CD交于点 G．所以 S△ DGE= S△ FGC．
所以 S△ ADC= S四边形 AFGD+ S△ FGC= S四边形 AFGD+ S△ DGE= S△ AEF， S△ BDC= S四边形 BEFC
又因为，所以
．
因此，直线 EF也是△ ABC的黄金分割线．
（ 4）画法不惟一，现提供两种画法；
画法一：如图 5，取 EF的中点 G，再过点 G作一条直线分别交 AB， DC于 M， N点，则直线 MN就是□ ABCD的黄金分割线．
画法二：如图 6，在 DF上取一点 N，连接 EN，再过点 F作 FM// NE交 AB于点 M，连接 MN，则直线 MN就是□ ABCD的黄金分割线．
