映射的定义：若从集合到集合的对应满足：对集合中的每一个元素，在集合中都有唯一确定的元素与之对应，则称对应为从到的映射。即满足：( 1)象的存在性；( 2)象的唯一性.
映射的定义可以用小球投盒的模型来理解
模型:将小球投入到有编号的盒中，要求小球全部投完，且同一个小球只能投入到一个盒中
这样可将抽象的映射问题变为形象的问题，便于进行计数
一、无限制条件的映射个数
例 1. 集合中有 7个元素，集合中有 3个元素.
（ 1）从集合到集合可以建立多少个映射？
（ 2）从集合到集合可以建立多少个映射？
解析：( 1)可以看作 7个不同的小球投入到 3个不同的盒子中，每个小球 3种投法，即映射数为.
( 2)同理可知共有个映射
二、从到的映射满足 B中的每一个元素在中都有原象
例 2.设集合,集合，从集合到集合的映射，使集合中的每一个元素都有集合中的元素与之对应，这样的映射的个数共有多少个？
解析：集合中的每一个元素都有原象，相当于小球投盒不出现空盒的情形先将 1,2,3,4,5分成 3组，各组元素的个数有两种情况：
情况一： 1:1:3，分组的方法有种；
情况二： 1:2:2，分组的方法有种，然后把这三组的小球投入到三个盒中，所以满足条件的映射个数为.
三、从到的映射满足中不同的元素在集合中有不同的象
例 3.集合中有 3个元素，集合中有 5个元素，从从集合到集合的映射，使集合中的不同的元素在集合中有不同的象，这样的映射共有多少个？
解析：问题相当于 3个不同的小球投入到不同的 5个盒中，不允许出现两球或多球放在一个盒子的情形（一球一盒），也就是从 5个盒子中选取 3个盒子，来放 3个球，盒子的选法有种方法，所以映射共有种
四、满足特殊条件的映射
例 4.设集合,映射，使对任意的都有为奇数，求这样的映射的个数
解析：问题相当于将编号为的三个小球投入到编号为的盒子中
分 3个步骤：第一步先看号球的投法，即，
所以为奇数
即有号球有 5种投法.
第 2步再投号球，即，
即有号球有 3种投法（只能投到 1,3,5）.
第 3步，最后投号球，即，
由乘法原理知共有 5× 3× 5= 75种不同的投法，即有 75个映射.
