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挑战高难度——极坐标与直角坐标互化

坐标系是联系形与数的桥梁,利用坐标系可以实现几何问题与代数问题的相互转化,从而产生了坐标法坐标系之间的互化,为我们更好地解决几何问题代数化提供了强有力的保障。不同坐标系有不同的作用,坐标系之间的互化成为解决问题的关键,但课本上只给出它们之间互化的公式,没有具体的解题顺序,下面我们就从三个方面说明坐标系之间的互化的方法

一、直角坐标化为球、柱坐标

1.设点的直角坐标为,求该点在柱坐标系和球坐标系中的坐标

解:( 1)设该点在柱坐标系中的坐标为

.

由互化公式可知,,又有

可知

又∵,∴.

∴该点在柱坐标系中的坐标为.

2)设该点在球坐标系中的坐标为

.

,得

解得

又∵,∴.

,可得

又因为,所以.

∴该点在球坐标系中的坐标为.

【点评】( 1)在直角坐标化为柱坐标时,应先求出,然后再根据它们之间的互化公式求的值,再根据的范围求出,即可求该点的出柱坐标

2)在直角坐标化为球坐标时,应先求出,再根据,求出,注意然后再根据,求出,再根据的范围求出即可求出该点的球坐标

二、柱坐标化为直角坐标

2.已知一点的柱坐标为,求该点的直角坐标

解:由柱坐标可知,令该点的直角坐标为

,计算可得,.

所以该点的直角坐标为.

【点评】在由柱坐标化成直角坐标时,应先由柱坐标的构成得出,后直接根据它们之间的互化公式分别求出该点的横、纵坐标即可,应注意竖坐标保持不变

三、球坐标化为直角坐标

3.已知一点的球坐标为,求该点的直角坐标

解:由球坐标可知,令它的直角坐标为

.

所以该点在直角坐标系中的坐标为.

【点评】在由球坐标化成直角坐标时,应先由球坐标的构成得出的值,后直接根据它们之间的互化公式分别求出该点的横、纵和竖坐标即可