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勾股定理逆定理来帮忙

知识点睛:

运用勾股定理的逆定理判断一个三角形是否为直角三角形是勾股定理章节的重点内容,同时也是一个难点,其判断过程可以分为以下三个步骤进行:

1)首先确定最大边(如:);

2)计算出最长边的平方和另两边(如:)的平方和

3)比较最长边的平方和另两边的平方和,如果,则的直角三角形,如果,则不是直角三角形

解题指导:

一、用于求角度

1.如图 1,在四边形 ABCD中, AB: BC: CD: DA= 2:2:3:1,且∠ ABC= 90°,求∠ DAB的度数.

点拨:连结 AC,由已知条件可知△ ABC为等腰直角三角形,可得∠ BAC= 45°,并利用勾股定理用辅助字母 k表示出 AC 2的长,再利用勾股定理的逆定理证得∠ DAC= 90°即可

解:连结 AC.

AB: BC: CD: DA= 2:2:3:1= k,则 AB= 2 kBC= 2 kCD= 3 kDA= k.

RtABC中,∵ AB= BC= 2 k,∴△ ABC为等腰三角形.

∴∠ BAC= 45°,且 AC 2= AB 2BC 2= 8 k 2.

在△ ACD中,∵ AD 2AC 2= k 28 k 2= 9 k 2= CD 2

∴∠ DAC= 90°.

∴∠ DAB=∠ DAC+∠ BAC= 90°45°= 135°.

答:∠ DAB的度数为 135°.

二、用于求面积

2.如图 2,在四边形 ABCD中,已知∠ B= 90°AB= 3BC= 4CD= 12AD= 13,求四边形 ABCD的面积.

点拨:连结 AC,把四边形 ABCD的面积分割成 RtABC和△ ACD,由勾股定理可求得 AC的长,再利用勾股定理的逆定理可得△ ACD为直角三角形,利用 S四边形 ABCD= SABCSACD,即可求得结果

解:连结 AC.

RtABC中, AC 2= AB 2BC 2= 3 24 2= 25.

在△ ACD

AC 2CD 2= 25144= 169= AD 2

∴△ ACD为直角三角形.

S四边形 ABCD= SABCSACD=× AB× BC× CD× AC=× 3× 4× 5× 12= 36.

答:四边形 ABCD的面积为 36.

三、用于证明

3.如图 3,在△ ABC中, AB= 17 cmBC= 16 cmBC边上的中线 AD= 15 cm.

求证: AB= AC.

点拨:先根据勾股定理的逆定理证出∠ ADB= 90°,然后在△ ADC中,利用勾股定理求出 AC的长即可.

证明:由已知条件可知, BD= CD= 8 cm.

在△ ABD中,

AD 2BD 2= 15 28 2= 289= AB 2

∴∠ ADB= 90°,即 ADBC.

RtADC中, (cm).

AB= AC.

四、用于解决实际问题

4.如图 4,这是一个农民建房时挖的地基平面图,按标准应为矩形,他在挖完后测量了一下,发现 AB= CD= 8 mAD= BC= 6 mAC= 9 m,请你帮他检查一下挖的长方形是否合格.

点拨:运用直角三角形的判定条件来验证它是否是直角三角形

解:∵ AD 2DC 2= 6 28 2= 100AC 2= 9 2= 81.

AD 2DC 2AC 2.

∴△ ADC不是直角三角形.

又∵长方形的四个角应都为直角,

∴该农民挖的不合格