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让人抓狂的数组

一组互不相同的自然数,其中最小的是 1,最大的是 25,除去 1之外,这组数中的任一个数或者等于这组数中某一个数的 2倍,或者等于另外两个数之和.在满足要求的所有可能的数组中,寻找出使得组内各数之和最大及最小的数组,并求这组数之和的最大值、最小值

【答案】最大值为 325,最小值为 61

【解析】很自然猜想并容易验证数组 123,…, 2425符合题目要求,显然这个数组的和是最大的,这个最大的和是 1+ 2+ 3+…+ 24+ 25= ANOAHDIGITAL 10.

困难在于搜寻最小的数组

把数组中的数由小到大排起来,容易看出:

1后边的数一定是 22后边可以是 3,也可以是 43后边可能是 4564后边可能是 ANOAHDIGITAL 10ANOAHDIGITAL 11ANOAHDIGITAL 12.把它们列出来就是

1234,…, 25

1235,…, 25

1236,…, 25

1245,…, 25

1246,…, 25

1248,…, 25.

25是奇数,它只能是另外两个数之和,容易验证在上述数列的“…”处不能只加入一个数,也就是说,在上述六种数列的每个“…”中,至少要再加入两个数.而且,还推知后加入的数中至少有两个数,这两个数的和不小于 25.理由是,如果后加入的任意两个数之和都小于 25,那么就不可能得到最后的 25这个数.

根据以上理由,我们应当先考虑 1234,…, 25这一列数.看看是否能只加入两个数,且加入的两个数之和是 25.

25= 5+ 20

25= 6+ 19

25= 7+ 18

25= 8+ 17

25= 9+ 16

25= 10+ 15

25= 11+ 14

25= 12+ 13.

1234,…, 25中的“…”处可加入 5,但是不能有 2020不是 12ANOAHDIGITAL 10ANOAHDIGITAL 11ANOAHDIGITAL 12中任何一数的两倍,也不是其中任何两数之和);可加入 ANOAHDIGITAL 13但不能在 ANOAHDIGITAL 14后写 ANOAHDIGITAL 15;可加入 ANOAHDIGITAL 16,但不能在 ANOAHDIGITAL 17后写 ANOAHDIGITAL 18,可加入 ANOAHDIGITAL 19,但不能在 ANOAHDIGITAL 20后写 ANOAHDIGITAL 21.另一方面,紧接 ANOAHDIGITAL 22ANOAHDIGITAL 23ANOAHDIGITAL 24ANOAHDIGITAL 25之后不可加入 ANOAHDIGITAL 26ANOAHDIGITAL 27ANOAHDIGITAL 28ANOAHDIGITAL 29.这表明 ANOAHDIGITAL 30ANOAHDIGITAL 31ANOAHDIGITAL 32ANOAHDIGITAL 33,…, ANOAHDIGITAL 34中的“…”处仅加入两个数,且这两个数之和是 ANOAHDIGITAL 35是办不到的.

接着考察 1235,…, 25:是否可以在“…”中仅加两个数,得到符合题意的数组.

容易看出 1235101525是符合题意的一组数.因为在“…”中加入的两个数,不论怎么加,它们的和的最小值是 25,现在加入 1015,其和恰是最小值 ANOAHDIGITAL 10.所以这数组的和最小因此,所求的最小和是

1+ 2+ 3+ 5+ 10+ 15+ 25= 61.