将 1~ 8这八个自然数分别填入下图中的八个○内,使四边形每条边上的三个数之和都等于 14,且数字 1出现在四边形的一个顶点上.应如何填?

【答案】

【分析】 为了叙述方便,先在各圆圈内填上字母,如下图

由条件得出以下四个算式:
a+ b+ c= 14( 1)
c+ d+ e= 14( 2)
e+ f+ g= 14( 3)
a+ h+ g= 14( 4)
由( 1)+( 3),得:
a+ b+ c+ e+ f+ g= 28,
( a+ b+ c+ d+ e+ f+ g+ h) -( d+ h)= 28,
d+ h=( 1+ 2+ 3+ 4+ 5+ 6+ 7+ 8) -28= 8,
由( 2)+( 4),同样可得 b+ f= 8,
又 1,2,3,4,5,6,7,8中有 1+ 7= 2+ 6= 3+ 5= 8.
又 1要出现在顶点上, d+ h与 b+ f只能有 2+ 6和 3+ 5两种填法;
又由对称性,不妨设 b= 2, f= 6, d= 3, h= 5.
a, c, e, g可取到 1, 4, 7, 8;
若 a= 1,则 c= 14 -( 1+ 2)= 11,不在 1, 4, 7, 8中,不行;
若 c= 1,则 a= 14 -( 1+ 2)= 11,不行;
若 e= 1,则 c= 14 -( 1+ 3)= 10,不行;
若 g= 1,则 a= 8, c= 4, e= 7.