在与反比例函数图象有关的面积问题中，有这样一个规律：从反比例函数
（
）的图象上一点分别向两轴作垂线，以该点、垂足、原点为顶点的矩形的面积是
；以该点、一个垂足、原点为顶点的三角形的面积是
．这就是反比例函数中
值的几何意义．
下面，让我们一起来证明这个规律的正确性．
如图 1，是反比例函数（）图象，点 A（
）为双曲线上一点，过点 A作 AB⊥
轴， AC⊥
轴，垂足分别为点 B、 C，则四边形 ABOC是矩形，由点坐标的几何意义，知 OB=
， OC=
，
∴ S矩形 ABOC= OB· OC=·=
．
又∵点 A在双曲线上，∴
，∴ S矩形 ABOC=．
易证 S△ ABO= S△ AOC=．
（温馨提示：由于点 A可以在任何象限，用点坐标表示距离时，一定记住用其绝对值！）
解题指导：
一、已知图形面积求的值
例 1、（ 2011.湖北鄂州）如图 2，点 A在双曲线上， AB⊥ x轴于点 B，且△ AOB的面积 S△ AOB= 2，则=______．
分析：由上述结论可知 S△ AOB=
，再由 S△ AOB= 2即可求出的值
解：∵ S△ AOB= 2， S△ ABO=，
∴= 2，解得
.
又∵双曲线位于第二、四象限，
∴
∴
.
故填 -4.
二、已知的值求图形面积
例 2、（ 2011.湖北孝感）如图 3，点 A在双曲线
上，点 B在双曲线
上，且 AB∥ x轴， AD⊥ x轴于点 D， BC⊥ x轴于点 C，则四边形 ABCD的面积为.
分析：直接求四边形 ABCD的面积有困难. 可延长 BA交 y轴于点 E，则有 S长方形 ABCD= S长方形 BCOE - S长方形 ADOE再结合点 A在双曲线上，点 B在双曲线上，问题就可解决了
解：延长 BA交 y轴于点 E.
∵ S长方形 BCOE=| 3|= 3， S长方形 ADOE=| 1|= 1，
∴ S四边形 ABCD= S长方形 BCOE - S长方形 ADOE= 3-1= 2.
故填 2.
三、比较面积大小
例 3（ 2011.山东东营）如图 4，直线
和双曲线
交于 A、 B两点, P是线段 AB上的点（不与 A、 B重合）,过点 A、 B、 P分别向 x轴作垂线,垂足分别是点 C、 D、 E,连接 OA、 OB、 OP,设△ AOC面积是 S 1、△ BOD面积是 S 2、△ POE面积是 S 3、则（ ）
A. S 1＜ S 2＜ S 3
B. S 1＞ S 2＞ S 3
C. S 1= S 2＞ S 3
D. S 1= S 2＜ S 3
分析:由上述结论易得 S 1= S 2=关键要比较 S 3与 S 1的大小，设 PE交双曲线于点 F，连接 OF，问题则易解决.
解：设 PE交双曲线于点 F，连接 OF.
∵点 A， B， F都在双曲线上，
∴ S 1= S 2= S△ FOE=.
而 S 3＞ S△ FOE，∴ S 1= S 2＜ S 3.
故选 D.
自我检测：
1.如图 5，点
、
是双曲线上的点，分别经过、两点向轴、轴作垂线段，若
则
______．
2. 如图 6， A、 B是函数
的图象上关于原点对称的任意两点， BC∥轴， AC∥轴，△ ABC的面积记为
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
参考答案：
1.4 2. B
