在与反比例函数图象有关的面积问题中,有这样一个规律:从反比例函数
(
)的图象上一点分别向两轴作垂线,以该点、垂足、原点为顶点的矩形的面积是
;以该点、一个垂足、原点为顶点的三角形的面积是
.这就是反比例函数中
值的几何意义.
下面,让我们一起来证明这个规律的正确性.

如图 1,是反比例函数
(
)图象,点 A(
)为双曲线上一点,过点 A作 AB⊥
轴, AC⊥
轴,垂足分别为点 B、 C,则四边形 ABOC是矩形,由点坐标的几何意义,知 OB=
, OC=
,
∴ S矩形 ABOC= OB· OC=
·
=
.
又∵点 A在双曲线上,∴
,∴ S矩形 ABOC=
.
易证 S△ ABO= S△ AOC=
.
(温馨提示:由于点 A可以在任何象限,用点坐标表示距离时,一定记住用其绝对值!)
解题指导:
一、已知图形面积求
的值
例 1、( 2011.湖北鄂州)如图 2,点 A在双曲线
上, AB⊥ x轴于点 B,且△ AOB的面积 S△ AOB= 2,则
=______.

分析:由上述结论可知 S△ AOB=
,再由 S△ AOB= 2即可求出
的值
解:∵ S△ AOB= 2, S△ ABO=
,
∴
= 2,解得
.
又∵双曲线位于第二、四象限,
∴
∴
.
故填 -4.
二、已知
的值求图形面积
例 2、( 2011.湖北孝感)如图 3,点 A在双曲线
上,点 B在双曲线
上,且 AB∥ x轴, AD⊥ x轴于点 D, BC⊥ x轴于点 C,则四边形 ABCD的面积为.

分析:直接求四边形 ABCD的面积有困难. 可延长 BA交 y轴于点 E,则有 S长方形 ABCD= S长方形 BCOE - S长方形 ADOE再结合点 A在双曲线
上,点 B在双曲线
上,问题就可解决了
解:延长 BA交 y轴于点 E.
∵ S长方形 BCOE=| 3|= 3, S长方形 ADOE=| 1|= 1,
∴ S四边形 ABCD= S长方形 BCOE - S长方形 ADOE= 3-1= 2.
故填 2.
三、比较面积大小
例 3( 2011.山东东营)如图 4,直线
和双曲线
交于 A、 B两点, P是线段 AB上的点(不与 A、 B重合),过点 A、 B、 P分别向 x轴作垂线,垂足分别是点 C、 D、 E,连接 OA、 OB、 OP,设△ AOC面积是 S 1、△ BOD面积是 S 2、△ POE面积是 S 3、则( )

A. S 1< S 2< S 3
B. S 1> S 2> S 3
C. S 1= S 2> S 3
D. S 1= S 2< S 3
分析:由上述结论易得 S 1= S 2=
关键要比较 S 3与 S 1的大小,设 PE交双曲线于点 F,连接 OF,问题则易解决.
解:设 PE交双曲线于点 F,连接 OF.
∵点 A, B, F都在双曲线
上,
∴ S 1= S 2= S△ FOE=
.
而 S 3> S△ FOE,∴ S 1= S 2< S 3.
故选 D.
自我检测:
1.如图 5,点
、
是双曲线
上的点,分别经过
、
两点向
轴、
轴作垂线段,若
则
______.

2. 如图 6, A、 B是函数
的图象上关于原点对称的任意两点, BC∥
轴, AC∥
轴,△ ABC的面积记为
,则( )

A.
B.
C.
D.
参考答案:
1.4 2. B