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K来了~数学中的老 K,不容小觑!

在与反比例函数图象有关的面积问题中,有这样一个规律:从反比例函数)的图象上一点分别向两轴作垂线,以该点、垂足、原点为顶点的矩形的面积是;以该点、一个垂足、原点为顶点的三角形的面积是.这就是反比例函数中值的几何意义.

下面,让我们一起来证明这个规律的正确性.

如图 1,是反比例函数)图象,点 A)为双曲线上一点,过点 AAB轴, AC轴,垂足分别为点 BC,则四边形 ABOC是矩形,由点坐标的几何意义,知 OB=OC=

S矩形 ABOC= OB· OC=·=

又∵点 A在双曲线上,∴,∴ S矩形 ABOC=

易证 SABO= SAOC=

(温馨提示:由于点 A可以在任何象限,用点坐标表示距离时,一定记住用其绝对值!

解题指导:

一、已知图形面积求的值

1、( 2011.湖北鄂州)如图 2,点 A在双曲线学科网(www.zxxk.com)--国内最大的教育资源门户,提供试卷、教案、课件、论文、素材及各类教学资源下载,还有大量而丰富的教学相关资讯!上, ABx轴于点 B,且△ AOB的面积 SAOB= 2,则=______.

分析:由上述结论可知 SAOB=,再由 SAOB= 2即可求出的值

解:∵ SAOB= 2SABO=

= 2,解得.

又∵双曲线位于第二、四象限,

.

故填 -4.

二、已知的值求图形面积

2、( 2011.湖北孝感)如图 3,点 A在双曲线学科网(www.zxxk.com)--国内最大的教育资源门户,提供试卷、教案、课件、论文、素材及各类教学资源下载,还有大量而丰富的教学相关资讯!上,点 B在双曲线学科网(www.zxxk.com)--国内最大的教育资源门户,提供试卷、教案、课件、论文、素材及各类教学资源下载,还有大量而丰富的教学相关资讯!上,且 ABx轴, ADx轴于点 DBCx轴于点 C,则四边形 ABCD的面积为.

分析:直接求四边形 ABCD的面积有困难. 可延长 BAy轴于点 E,则有 S长方形 ABCD= S长方形 BCOE - S长方形 ADOE再结合点 A在双曲线学科网(www.zxxk.com)--国内最大的教育资源门户,提供试卷、教案、课件、论文、素材及各类教学资源下载,还有大量而丰富的教学相关资讯!上,点 B在双曲线学科网(www.zxxk.com)--国内最大的教育资源门户,提供试卷、教案、课件、论文、素材及各类教学资源下载,还有大量而丰富的教学相关资讯!上,问题就可解决了

解:延长 BAy轴于点 E.

S长方形 BCOE=| 3|= 3S长方形 ADOE=| 1|= 1

S四边形 ABCD= S长方形 BCOE - S长方形 ADOE= 3-1= 2.

故填 2.

三、比较面积大小

32011.山东东营)如图 4,直线学科网(www.zxxk.com)--国内最大的教育资源门户,提供试卷、教案、课件、论文、素材及各类教学资源下载,还有大量而丰富的教学相关资讯!和双曲线学科网(www.zxxk.com)--国内最大的教育资源门户,提供试卷、教案、课件、论文、素材及各类教学资源下载,还有大量而丰富的教学相关资讯!交于 AB两点, P是线段 AB上的点(不与 AB重合),过点 ABP分别向 x轴作垂线,垂足分别是点 CDE,连接 OAOBOP,设△ AOC面积是 S 1、△ BOD面积是 S 2、△ POE面积是 S 3、则( )

A. S 1S 2S 3

B. S 1S 2S 3

C. S 1= S 2S 3

D. S 1= S 2S 3

分析:由上述结论易得 S 1= S 2=关键要比较 S 3S 1的大小,设 PE交双曲线于点 F,连接 OF,问题则易解决.

解:设 PE交双曲线于点 F,连接 OF.

∵点 ABF都在双曲线学科网(www.zxxk.com)--国内最大的教育资源门户,提供试卷、教案、课件、论文、素材及各类教学资源下载,还有大量而丰富的教学相关资讯!上,

S 1= S 2= SFOE=.

S 3SFOE,∴ S 1= S 2S 3.

故选 D.

自我检测:

1.如图 5,点是双曲线上的点,分别经过两点向轴、轴作垂线段,若______.

2. 如图 6AB是函数的图象上关于原点对称的任意两点, BC轴, AC轴,△ ABC的面积记为,则( )

A

B

C

D

参考答案:

1.4 2. B