知识点睛：

一元二次方程的根的判别式Δ= ，它是揭示根的个数与系数间联系的有力工具当Δ＞ 0时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当Δ= 0时，一元二次方程有两个相等的实数根；当Δ＜ 0时，一元二次方程没有实数根看似简单、平常，可它的用途却不小呢

解题指导：

一、判断根的情况

例 1：下列关于 x的一元二次方程中，有两个不等的实数根的方程是（）

A． x²＋ 1＝ 0

B． 9 x²－ 6 x＋ 1＝ 0

C． x²－ x＋ 2＝ 0

D． x²－ 2 x－ 1＝ 0

温馨提示：在运用根的判别式判断方程根的情况时，一定要先将一元二次方程化为一般形式

解：所给方程都是一般形式，所以直接运用根的判别式即可

对于选项 A，Δ= 0-4× 1× 1＝－ 4< 0，所以方程没有实数根；

对于选项 B，Δ=（－ 6）²－ 4× 9× 1＝ 0，所以方程有两个相等的实数根；

对于选项 C，Δ=（－ 1）²－ 4× 1× 2＝－ 7< 0，所以方程没有实数根；

对于选项 D，Δ=（－ 2）²－ 4× 1×( -1)= 8> 0，所以方程有两个不等的实数根.

故选 D.

二、确定字母的取值范围

例 2：已知关于 x的一元二次方程 mx²= 2（ 1－ m） x－ m有两个实数根，求 m的取值范围.

温馨提示：在解决与一元二次方程有关的问题时，要注意二次项系数不能为 0.

解：将原方程化为一般形式 mx² -2（ 1－ m） x+ m= 0．

因为原方程有两个实数根，

所以Δ=[ -2（ 1－ m）]²－ 4 m²=－ 8 m+ 4≥ 0.解得 m≤．

因为 m≠ 0，所以 m的取值范围是 m≤，且 m≠ 0.

三、证明方程根的情况

例 3：已知关于 x的方程 mx² -( 3 m－ 1) x+ 2 m－ 2= 0，求证：无论 m取任何实数时，方程恒有实数根.

温馨提示：本题并没有强调方程是一元二次方程，所以二次项系数可以为 0.

证明：①当 m= 0时，方程为 x－ 2= 0，有实数根；

②当 m≠ 0时，Δ=[－（ 3 m－ 1）]²－ 4 m（ 2 m－ 2）=（ m+ 1）²≥ 0,所以方程有实数根.

综合①②，可知 m取任何实数，方程 mx² -( 3 m－ 1) x+ 2 m－ 2= 0恒有实数根.

自我检测：

1、已知一元二次方程，下列判断中，正确的是（）

A．该方程有两个相等的实数根

B．该方程有两个不相等的实数根

C．该方程无实数根

D．该方程根的情况不确定

2、如果一元二次方程有两个不等实根，则实数的取值范围是______．

3、已知关于的一元二次方程（）有两个相等的实数根，求的值．

参考答案：

1、一元二次方程（）的根的情况可由的符号判定，不用解方程．在中，=＞ 0，

所以这个方程有两个不相等的实数根．故选 B．

2、原方程是一元二次方程，且有两个不相等的实数根，说明即

所以的取值范围是且．

故填且．

3、∵方程（）有两个相等的实数根，

∴．即．

∴====== 4．