知识点睛:
一元二次方程
的根的判别式Δ=
,它是揭示根的个数与系数间联系的有力工具当Δ> 0时,一元二次方程有两个不相等的实数根;当Δ= 0时,一元二次方程有两个相等的实数根;当Δ< 0
时,一元二次方程没有实数根 看似简单、平常,可它的用途却不小呢
解题指导:
一、判断根的情况
例 1:下列关于 x的一元二次方程中,有两个不等的实数根的方程是()
A. x 2+ 1= 0
B. 9 x 2- 6 x+ 1= 0
C. x 2- x+ 2= 0
D. x 2- 2 x- 1= 0
温馨提示:在运用根的判别式判断方程根的情况时,一定要先将一元二次方程化为一般形式
解:所给方程都是一般形式,所以直接运用根的判别式即可
对于选项 A,Δ= 0-4× 1× 1=- 4< 0,所以方程没有实数根;
对于选项 B,Δ=(- 6) 2- 4× 9× 1= 0,所以方程有两个相等的实数根;
对于选项 C,Δ=(- 1) 2- 4× 1× 2=- 7< 0,所以方程没有实数根;
对于选项 D,Δ=(- 2) 2- 4× 1×( -1)= 8> 0,所以方程有两个不等的实数根.
故选 D.
二、确定字母的取值范围
例 2:已知关于 x的一元二次方程 mx 2= 2( 1- m) x- m 有两个实数根,求 m的取值范围.
温馨提示:在解决与一元二次方程有关的问题时,要注意二次项系数不能为 0.
解:将原方程化为一般形式 mx 2 -2( 1- m) x+ m = 0.
因为原方程有两个实数根,
所以Δ=[ -2( 1- m)] 2- 4 m 2 =- 8 m+ 4≥ 0.解得 m≤
.
因为 m≠ 0,所以 m的取值范围是 m≤
,且 m≠ 0.
三、证明方程根的情况
例 3:已知关于 x的方程 mx 2 -( 3 m- 1) x+ 2 m- 2= 0,求证:无论 m取任何实数时,方程恒有实数根.
温馨提示:本题并没有强调方程是一元二次方程,所以二次项系数可以为 0.
证明:①当 m= 0时,方程为 x- 2= 0,有实数根;
②当 m≠ 0时,Δ=[-( 3 m- 1)] 2- 4 m( 2 m- 2)=( m+ 1) 2≥ 0,所以方程有实数根.
综合①②,可知 m取任何实数,方程 mx 2 -( 3 m- 1) x+ 2 m- 2= 0恒有实数根.
自我检测:
1、已知一元二次方程
,下列判断中,正确的是( )
A.该方程有两个相等的实数根
B.该方程有两个不相等的实数根
C.该方程无实数根
D.该方程根的情况不确定
2、如果一元二次方程
有两个不等实根,则实数
的取值范围是______.
3、已知关于
的一元二次方程
(
)有两个相等的实数根,求
的值.
参考答案:
1、一元二次方程
(
)的根的情况可由
的符号判定,不用解方程.在
中,
=
> 0,
所以这个方程有两个不相等的实数根.故选 B.
2、原方程是一元二次方程,且有两个不相等的实数根,说明
即![](http://static.anoah.com/uploads/testpage/75/images/image018.gif)
所以
的取值范围是
且
.
故填
且
.
3、∵方程
(
)有两个相等的实数根,
∴
.即
.
∴
=
=
=
=
=
= 4.