如图,在△ ABC中,点 E、 D是 AB、 AC上两点,满足 ED∥ BC, ED= 2, BC= 4,点 M是 ED的中点,△ MBC是等边三角形.
( 1)求证:△ ABC是等腰三角形.
( 2)动点 P、 Q分别在线段 BC、 MC上运动,且∠ MPQ= 600保持不变.设 PC= x, MQ= y,求 y与 x的函数关系式.当 y取最小值时,判断△ PQC的形状,并说明理由.
解:( 1)由△ BMC是等边三角形可知:
∠ MBC=∠ MCB= 60°, BM= MC,
又∵ ED∥ BC,
∴∠ EMB=∠ MBC;∠ DMC=∠ MCB.
∴∠ EMB=∠ DMC.
又∵点 M平分 ED,
∴ EM= MD.
则可证△ EMB≌△ DMC.
∴∠ EBM=∠ ECM.
则可得∠ EBC=∠ DCB.
∴△ ABC是等腰三角形.
( 2)由∠ MPQ= 60°,
可得∠ BMP=∠ CPQ.
又∵∠ MBP=∠ MCP= 60°,
∴△ BMP∽△ CPQ.
∴.
∴ .
∴ y= - x+ 4.
当 y取最小值时, x= 2= PC,
则点 P是 BC的中点.
∴ MP⊥ BC,而∠ MPQ= 60°,
∴∠ PQC= 90°,则△ PQC为 Rt△.